참고

이 노트는 누구를 위한 것인가? 수능 미적분 선택자 기준으로 썼습니다. 즉 극한·미분·적분·급수·이계도함수·매개변수함수의 미분/적분은 이미 안다고 가정합니다. 반대로 기하(벡터, 내적, 외적, 평면의 방정식, 이차곡선 등)는 하나도 모른다고 가정하고 정의부터 씁니다. 목표는 하나: 2025년·2026년 기출을 완벽히 이해하고, 비슷한 유형이 나와도 처음부터 손으로 풀어낼 수 있게 만드는 것입니다.

이 노트의 범위 (교재 차례 기준)

각 장의 “부록” 절(4장 4절, 5장 6절, 6장 3절, 7장 4절, 8장 2절, 9장 8절)과 책 맨 뒤 부록(그리스 문자, 적분표 등)은 시험 범위가 아니므로 이 노트에서도 다루지 않습니다.

PART I. 벡터와 행렬

1. 좌표공간과 좌표계 (교재 4장)

1.1 좌표공간 $\mathbb{R}^3$

$\mathbb{R}^3$의 점은 순서쌍 $(x,y,z)$로 나타냅니다. 두 점 $P=(x_1,y_1,z_1)$, $Q=(x_2,y_2,z_2)$ 사이의 거리는 3차원 피타고라스 정리로

$$d(P,Q) = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}$$

이것 하나만 알면 됩니다. ($\mathbb{R}^n$으로 일반화해도 좌표 차이의 제곱을 다 더해서 루트 씌우면 끝.)

1.2 극좌표계 (2차원)

평면의 점을 $(x,y)$ 대신 원점에서의 거리 $r$과 양의 $x$축과 이루는 각 $\theta$로 표현하는 방법입니다.

$$x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad r^2 = x^2+y^2$$

왜 배우는가? 원, 나선, 꽃잎 모양 곡선처럼 원점 중심 대칭인 도형은 $(x,y)$보다 $r=f(\theta)$ 꼴로 쓰면 식이 훨씬 간단해집니다.

• 직선의 극좌표 방정식: 원점을 지나지 않는 직선은 $r = \dfrac{d}{\cos(\theta-\alpha)}$ 꼴 (여기서 $d$는 원점과 직선 사이의 거리). 원점을 지나는 직선은 그냥 $\theta = \theta_0$.
• 원의 극좌표 방정식: 원점 중심 반지름 $a$인 원은 $r=a$. 중심이 $(a,0)$이고 원점을 지나는 원은 $r=2a\cos\theta$.
• 여러 곡선들 (아르키메데스 와선 $r=a\theta$, 로그 와선 $r=ae^{b\theta}$, 꽃잎 곡선 $r=a\cos(n\theta)$ 등)은 개형을 눈에 익혀두는 정도로 충분합니다. 2026년 7번 문제처럼 원뿔곡선·꽃잎형 자체보다는 극좌표에서 넓이를 구하는 계산력(9장 3절)이 실제 시험에서 더 중요합니다.

넓이 공식(9장에서 다시 나오지만 여기서 미리): 극좌표 곡선 $r=f(\theta)$, $\alpha\le\theta\le\beta$로 둘러싸인 부채꼴형 영역의 넓이는

$$A = \frac{1}{2}\int_\alpha^\beta r^2\,d\theta = \frac12\int_\alpha^\beta f(\theta)^2\,d\theta$$

이건 “반지름 $r$, 중심각 $d\theta$인 아주 얇은 부채꼴의 넓이 $\frac12 r^2 d\theta$를 적분한다”는 것으로 이해하면 외울 필요가 없습니다.

1.3 원기둥좌표계·구면좌표계 (3차원)

• 원기둥좌표 $(r,\theta,z)$: $xy$평면은 극좌표로, 높이는 그대로 $z$. $$x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,\quad z=z$$
• 구면좌표 $(\rho,\theta,\phi)$: $\rho$는 원점에서의 거리, $\theta$는 $xy$평면 위로 투영했을 때의 극좌표 각, $\phi$는 양의 $z$축과 이루는 각(위도 비슷한 것). $$x=\rho\sin\phi\cos\theta,\quad y=\rho\sin\phi\sin\theta,\quad z=\rho\cos\phi$$

이 두 좌표계는 2025·2026 기출에는 직접 출제되지 않았지만, 9장 5절의 “구면 측지선”, 9장 3절 “극좌표계” 문제(2026-9번: 단위구면 위의 곡선)와 연결되니 개념만 알아둡니다. 특히 “단위구면 $S^2$ 위의 곡선”이라는 표현이 나오면 $|X(t)|=1$(구면좌표에서 $\rho=1$)이라는 뜻임을 바로 캐치해야 합니다.

2. 벡터 (교재 5장) — 이 시험의 절반은 여기서 나온다

2.1 벡터란 무엇인가

벡터는 크기와 방향을 가진 양입니다. $\mathbb{R}^3$에서는 순서쌍 $\mathbf{a}=(a_1,a_2,a_3)$로 나타내고, 이는 원점에서 점 $(a_1,a_2,a_3)$까지의 화살표라고 생각하면 됩니다.

• 크기(길이, norm): $|\mathbf{a}| = \sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$
• 표준단위벡터: $\mathbf{e}_1=(1,0,0),\ \mathbf{e}_2=(0,1,0),\ \mathbf{e}_3=(0,0,1)$ (흔히 $i,j,k$로도 씀). 모든 벡터는 $\mathbf{a}=a_1\mathbf{e}_1+a_2\mathbf{e}_2+a_3\mathbf{e}_3$로 쓸 수 있습니다.
• 단위벡터: 크기가 1인 벡터. 임의의 벡터 $\mathbf{a}\ne 0$를 단위벡터로 만들려면 $\dfrac{\mathbf{a}}{|\mathbf{a}|}$.
• 나란한 벡터(평행): $\mathbf{a} \parallel \mathbf{b}$ $\iff$ $\mathbf{b}=k\mathbf{a}$인 실수 $k$가 존재.

두 점 $P,Q$가 있을 때 $P$에서 $Q$로 가는 벡터는 $\overrightarrow{PQ} = Q-P$ (좌표를 그냥 빼면 됩니다).

2.2 내적 (Dot Product) — 각도와 수직을 다루는 도구

$$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3$$

이것이 왜 중요하냐면, 다음 등식이 성립하기 때문입니다:

$$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = |\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos\theta \quad(\theta\text{는 두 벡터 사이의 각})$$

핵심 활용 1. 수직 판정: $\mathbf{a}\perp\mathbf{b} \iff \mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=0$. (기출에서 “서로 수직인 세 벡터” 같은 조건이 나오면 곱하면 0이라는 뜻) 2. 각도 계산: $\cos\theta = \dfrac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{|\mathbf{a}||\mathbf{b}|}$ 3. 내적의 성질 (분배법칙이 그대로 성립): $\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}+\mathbf{c})=\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}+\mathbf{a}\cdot\mathbf{c}$, $\mathbf{a}\cdot\mathbf{a}=|\mathbf{a}|^2$, $(k\mathbf{a})\cdot\mathbf{b}=k(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})$

정사영(projection): 벡터 $\mathbf{a}$를 벡터 $\mathbf{b}$ 방향으로 “그림자를 드리운” 벡터.

$$\operatorname{proj}_{\mathbf b}\mathbf a = \frac{\mathbf a\cdot \mathbf b}{|\mathbf b|^2}\,\mathbf b$$

스칼라(길이만) 필요하면 $\dfrac{\mathbf a\cdot\mathbf b}{|\mathbf b|}$ (이걸 $\mathbf b$ 방향 성분이라 부릅니다).

참고

직관: $\mathbf a \cdot \mathbf b$가 왜 “곱하기 코사인”인지 헷갈리면, 내적을 “$\mathbf b$ 방향으로 $\mathbf a$가 얼마나 나아갔는지에 $|\mathbf b|$를 곱한 것”이라고 생각하세요. $\mathbf a$의 $\mathbf b$방향 성분이 $|\mathbf a|\cos\theta$이므로 여기에 $|\mathbf b|$를 곱하면 $|\mathbf a||\mathbf b|\cos\theta$.

직교(정사영) 응용 문제 풀이법: “벡터 $\mathbf c$의, 벡터 $\mathbf n$에 대한 정사영” 같은 문제(2026-4번 (b))는 위 공식에 그대로 대입하면 됩니다.

2.3 평면의 방정식

한 점 $P_0=(x_0,y_0,z_0)$을 지나고, 이 평면에 수직인 벡터(법선벡터) $\mathbf n=(A,B,C)$가 주어졌을 때 평면 위의 임의의 점 $(x,y,z)$는

$$\mathbf n \cdot (P - P_0) = 0 \iff A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$$

정리하면 $Ax+By+Cz=D$ 꼴이 됩니다. 핵심: 평면의 방정식에서 계수 $(A,B,C)$가 바로 그 평면의 법선벡터입니다. 예를 들어 평면 $x-2y+2z=1$의 법선벡터는 $(1,-2,2)$.

평면 결정법: 한 평면 위의 세 점 $A,B,C$가 주어지면, 두 벡터 $\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}$를 만들고 이 둘에 동시에 수직인 벡터(=법선벡터)를 외적(8장)으로 구해서 위 공식에 대입합니다. (2026-9번, 접촉평면 문제 등에서 반복적으로 쓰입니다.)

점과 평면 사이의 거리: 점 $P_1$과 평면 $Ax+By+Cz=D$ 사이의 거리는

$$\text{거리} = \frac{|Ax_1+By_1+Cz_1-D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$$

(이 공식은 “평면 위의 아무 점 $P_0$을 잡아서 $\overrightarrow{P_0P_1}$을 단위법선벡터에 정사영한 길이”로 유도됩니다. 2025-9(b), 2026-5(a) 등에서 바로 씁니다.)

2.4 직선의 방정식

한 점 $P_0$을 지나고 방향벡터 $\mathbf v$를 갖는 직선 위의 점은

$$P(t) = P_0 + t\mathbf v \quad (t\in\mathbb{R})$$

즉 $(x,y,z) = (x_0+tv_1,\ y_0+tv_2,\ z_0+tv_3)$. 두 점을 지나는 직선이면 방향벡터를 그 두 점의 차로 잡으면 됩니다.

직선 위로의 정사영(수선의 발): 점 $P_1$에서 직선 $P(t)=P_0+t\mathbf v$에 내린 수선의 발은, $\overrightarrow{P_0P_1}$을 $\mathbf v$에 정사영해서 구합니다. $$t^* = \frac{(P_1-P_0)\cdot \mathbf v}{|\mathbf v|^2}, \qquad \text{수선의 발} = P_0+t^*\mathbf v$$ (2026-4(c)에서 그대로 사용)

직선을 평면에 정사영하기 (2025-5번 유형): 직선 위의 두 점을 각각 평면에 수직으로 투영한 뒤(= 각 점에서 법선벡터 방향으로 평면까지 이동), 투영된 두 점을 지나는 직선을 구하면 됩니다. 점 $P$를 법선벡터 $\mathbf n$(단위벡터로 정규화), 평면 $\mathbf n\cdot X = D$에 투영한 점은 $$P' = P - (\mathbf n\cdot P - D)\,\frac{\mathbf n}{|\mathbf n|^2}$$

2.5 무게중심 (질량중심)

점 $P_1,\dots,P_n$에 질량 $m_1,\dots,m_n$이 있을 때 무게중심은

$$G = \frac{m_1P_1+m_2P_2+\cdots+m_nP_n}{m_1+m_2+\cdots+m_n}$$

(질량이 모두 같으면 그냥 평균) 2026-5번은 이 공식 + 평면에 대한 정사영 공식을 합친 문제입니다.

최소화 문제 트릭 (2026-5(b) 유형): $f(P)=\sum m_i|PA_i|^2$의 최솟값을 구하는 문제는 다음 항등식을 씁니다. $$\sum m_i|P-A_i|^2 = \Big(\sum m_i\Big)|P-G|^2 + \sum m_i|G-A_i|^2$$ 즉 평행축 정리(관성모멘트에서 나오는 그 공식)와 똑같습니다. $P=G$일 때 최소이고, 최솟값은 뒤의 상수항.

참고

유도: $P-A_i = (P-G)+(G-A_i)$로 쪼갠 뒤 제곱하면 교차항 $2m_i(P-G)\cdot(G-A_i)$의 합이 $2(P-G)\cdot\sum m_i(G-A_i) = 2(P-G)\cdot(( \sum m_i)G - \sum m_iA_i)=0$ (무게중심의 정의에 의해 괄호 안이 0)이 되어 사라집니다.

2.6 일차독립과 일차종속

벡터 $\mathbf a_1,\dots,\mathbf a_k$가 일차독립이라는 것은

$$c_1\mathbf a_1+c_2\mathbf a_2+\cdots+c_k\mathbf a_k = \mathbf 0 \implies c_1=c_2=\cdots=c_k=0$$

즉 “0벡터를 만드는 유일한 방법이 계수를 전부 0으로 하는 것뿐”이라는 뜻. 만약 전부 0이 아닌 계수 조합으로 0벡터를 만들 수 있으면 일차종속.

직관적으로: $\mathbb{R}^3$에서 세 벡터가 일차독립 $\iff$ 세 벡터가 (원점에서 출발할 때) 한 평면 위에 있지 않다 $\iff$ 세 벡터로 만든 평행육면체의 부피가 0이 아니다 $\iff$ 세 벡터를 행(또는 열)으로 하는 행렬의 행렬식이 0이 아니다(7장) $\iff$ 세 벡터의 삼중적 $\mathbf a\cdot(\mathbf b\times\mathbf c)\ne0$ (8장).

실전 판정법 (2026-4(a) 유형): 세 벡터를 행렬의 행으로 놓고 행렬식을 계산해서 0인지 아닌지 확인하는 게 가장 빠릅니다.

2025-10번(a)처럼 “서로 다른 고윳값에 대응하는 고유벡터는 일차독립”이라는 논증도 나오는데, 이건 아래 6.2절 내용과 함께 다시 다룹니다.

3. 행렬과 선형사상 (교재 6장)

3.1 행렬

$m\times n$ 행렬은 숫자를 $m$행 $n$열로 배열한 것. 덧셈·스칼라배는 성분끼리, 곱셈은 다음 규칙:

$m\times n$ 행렬 $A$와 $n\times p$ 행렬 $B$의 곱 $AB$는 $m\times p$ 행렬이고, $(AB)$의 $(i,j)$성분은 $A$의 $i$행과 $B$의 $j$열을 내적한 값입니다.

$$(AB)_{ij} = \sum_{k=1}^n A_{ik}B_{kj}$$

주의: 행렬 곱셈은 교환법칙이 성립하지 않습니다 ($AB\ne BA$가 일반적). 결합법칙은 성립.

전치행렬 $A^T$: 행과 열을 바꾼 행렬. $(A^T)_{ij}=A_{ji}$.

정사각행렬: 행의 개수 = 열의 개수인 행렬. 이 시험 범위에서 다루는 행렬은 대부분 $2\times2$, $3\times3$ 정사각행렬입니다.

• 항등행렬 $I$: 대각성분이 1, 나머지 0. $AI=IA=A$.
• 가역(invertible): $AB=BA=I$인 $B$가 존재하면 $A$는 가역이라 하고 $B=A^{-1}$.

3.2 선형사상 = 행렬

함수 $L:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$이 선형사상이라는 것은

$$L(\mathbf a+\mathbf b)=L(\mathbf a)+L(\mathbf b), \qquad L(k\mathbf a)=kL(\mathbf a)$$

를 만족한다는 뜻입니다. 이 교재에서 가장 중요한 정리는:

참고

모든 선형사상은 행렬 곱으로 표현되고, 모든 행렬은 선형사상을 정의한다.

구체적으로, $L(\mathbf e_1), L(\mathbf e_2), L(\mathbf e_3)$을 각각 열벡터로 하는 행렬 $A$를 만들면 $L(\mathbf x) = A\mathbf x$ (모든 $\mathbf x$에 대해).

“대칭점으로 보내는 선형사상”을 행렬로 구하는 법 (2025-3번 유형): 직선 $\ell$에 대한 대칭변환 $F$를 구하려면 1. $\ell$의 방향 단위벡터 $\mathbf u$를 구한다. 2. 임의의 점 $P$를 $\ell$ 방향과 $\ell$에 수직인 방향으로 분해: $P = (\mathbf u\cdot P)\mathbf u + P_\perp$ 3. 대칭변환은 평행 성분은 그대로 두고 수직 성분만 뒤집는다: $F(P) = (\mathbf u\cdot P)\mathbf u - P_\perp = 2(\mathbf u\cdot P)\mathbf u - P$ 4. 즉 $F(P) = 2(\mathbf u\mathbf u^T)P - P = (2\mathbf u\mathbf u^T - I)P$. 여기서 $\mathbf u\mathbf u^T$는 $\mathbf u$를 열벡터, $\mathbf u^T$를 행벡터로 곱한 $3\times3$ 행렬(정사영 행렬)입니다. 5. 따라서 $F$를 나타내는 행렬은 $2\mathbf u\mathbf u^T - I$.

“$L(\mathbf a)=\lambda\mathbf a$” 꼴의 조건(고윳값·고유벡터): 2025-10번, 2026-3·10번처럼 $L(\mathbf a)=a,\ L(\mathbf b)=3b,\ L(\mathbf c)=5c$ 같은 조건이 주어지면, $\mathbf a,\mathbf b,\mathbf c$가 일차독립이라는 좌표계를 새로 잡았을 때 $L$을 나타내는 행렬은 대각행렬 $\operatorname{diag}(1,3,5)$가 됩니다. 행렬식은 좌표계(기저)를 바꿔도 불변이므로 $\det L = 1\times3\times5=15$처럼 바로 계산할 수 있습니다. (증명 아이디어: $\det$은 “부피 배율”이라는 기하학적 의미를 가지므로 좌표축을 어떻게 잡든 같은 값이 나옵니다.)

4. 정사각행렬과 행렬식 (교재 7장)

4.1 역행렬 (2×2 한정, 손으로 자주 계산)

$$A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} \implies A^{-1} = \frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix} \quad (ad-bc\ne0)$$

$ad-bc$가 바로 $2\times2$ 행렬식입니다. 이 값이 0이면 역행렬이 존재하지 않습니다.

4.2 치환(permutation)과 부호

$n$개의 원소 $\{1,\dots,n\}$을 다시 배열하는 방법을 치환이라 합니다. 예를 들어 3-치환 $\sigma$는 $\{1,2,3\}\to\{1,2,3\}$인 일대일대응. 표기: $\sigma(1)=2,\sigma(2)=3,\sigma(3)=1$ 같은 식.

• 호환(transposition): 두 원소만 서로 바꾸는 치환.
• 모든 치환은 몇 개의 호환의 합성으로 표현 가능(방법은 여러 가지지만 호환의 개수의 홀짝성은 항상 같습니다).
• 부호 $\operatorname{sgn}(\sigma) = (-1)^{(\text{호환 개수})}$: 짝수 개의 호환이면 $+1$(짝치환), 홀수 개면 $-1$(홀치환).
• 3-치환은 총 $3!=6$개가 있고, 이 중 항등치환과 “돌려막기”(순환치환) 2개가 짝치환(부호 $+1$), 두 원소를 바꾸는 호환 3개가 홀치환(부호 $-1$)입니다. (2026-10(c)에서 “가역이 되는 $\sigma$의 개수”를 구할 때 6개를 다 따져야 하므로 이 분류를 알아두면 빠릅니다.)

4.3 행렬식

$3\times3$ 행렬식 (여인수 전개 또는 치환 공식):

$$\det\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix} = \sum_{\sigma}\operatorname{sgn}(\sigma)\,a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2)}a_{3\sigma(3)}$$

실전에서는 사루스(Sarrus) 법칙으로 외우는 게 빠릅니다:

$$\det A = a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}$$

(대각선으로 3개씩 곱해서 우향 대각선은 +, 좌향 대각선은 -)

행렬식의 핵심 성질 (증명 없이 결과만 알아도 문제 풀이엔 충분): 1. $\det(AB)=\det A\cdot \det B$ (가장 많이 씀 — 2026-10(b),(c)) 2. $\det(A^T)=\det A$ 3. 한 행(열)에 스칼라 $k$를 곱하면 행렬식도 $k$배. 두 행(열)을 교환하면 부호가 바뀜. 한 행에 다른 행의 배수를 더해도 값 불변. 4. $\det A \ne 0 \iff A$가 가역 $\iff$ $A$의 행(열)벡터들이 일차독립 5. 삼각행렬(위/아래 삼각)의 행렬식은 대각성분의 곱 6. $\det(kA) = k^n \det A$ ($n\times n$ 행렬일 때) 7. 기하학적 의미: $2\times2$ 행렬의 두 열벡터가 이루는 평행사변형의 넓이 = $|\det A|$. $3\times3$은 평행육면체의 부피 = $|\det A|$.

2×2 행렬식으로 넓이 구하기 (교재 5장 “나란히꼴의 넓이” 문제, 2026-3(a) 유형): 두 벡터 $\mathbf a,\mathbf b$가 이루는 평행사변형의 넓이는 $$S = |\mathbf a||\mathbf b|\sin\theta = \sqrt{|\mathbf a|^2|\mathbf b|^2-(\mathbf a\cdot\mathbf b)^2}$$ (코시-슈바르츠에서 나오는 관계식) 이거나, $\mathbb{R}^3$에서는 그냥 외적의 크기 $|\mathbf a\times\mathbf b|$ (8장에서 설명).

5. 삼차원 공간과 벡터곱 (교재 8장)

5.1 외적(cross product) 정의

두 벡터 $\mathbf a=(a_1,a_2,a_3)$, $\mathbf b=(b_1,b_2,b_3)$의 외적:

$$\mathbf a\times\mathbf b = \begin{vmatrix}\mathbf e_1&\mathbf e_2&\mathbf e_3\\a_1&a_2&a_3\\b_1&b_2&b_3\end{vmatrix} = (a_2b_3-a_3b_2,\ a_3b_1-a_1b_3,\ a_1b_2-a_2b_1)$$

행렬식 모양으로 외우면 편합니다. ($3\times3$ 행렬식 전개하듯 계산)

5.2 외적의 성질 (전부 시험에 나옵니다)

1. $\mathbf a\times\mathbf b$는 $\mathbf a$, $\mathbf b$ 모두에 수직: $(\mathbf a\times\mathbf b)\cdot\mathbf a=0,\ (\mathbf a\times\mathbf b)\cdot\mathbf b=0$. → 그래서 두 벡터가 만드는 평면의 법선벡터를 구할 때 씁니다.
2. 크기: $|\mathbf a\times\mathbf b| = |\mathbf a||\mathbf b|\sin\theta$ = 두 벡터가 이루는 평행사변형의 넓이. 따라서 삼각형의 넓이는 $\frac12|\mathbf a\times\mathbf b|$.
3. 반교환법칙: $\mathbf a\times\mathbf b = -(\mathbf b\times\mathbf a)$ (순서 바꾸면 부호 반대)
4. $\mathbf a\times\mathbf a=\mathbf 0$, 두 벡터가 평행하면 외적은 $\mathbf 0$
5. 분배법칙: $\mathbf a\times(\mathbf b+\mathbf c)=\mathbf a\times\mathbf b+\mathbf a\times\mathbf c$
6. 삼중적(스칼라 삼중적): $\mathbf a\cdot(\mathbf b\times\mathbf c) = \det\begin{pmatrix}a_1&a_2&a_3\\b_1&b_2&b_3\\c_1&c_2&c_3\end{pmatrix}$ = 세 벡터가 이루는 평행육면체의 부피 (부호 있음, 절댓값 씌우면 실제 부피). 사면체 부피는 이 값의 $\frac16$.

문제1 (2025-1번) 풀이 아이디어: $\mathbf a\times\mathbf b=\mathbf a\times\mathbf c$이고 $\mathbf a\cdot\mathbf b=\mathbf a\cdot\mathbf c$이면 $\mathbf b=\mathbf c$임을 보이는 문제. 두 조건을 각각 $\mathbf a\times(\mathbf b-\mathbf c)=\mathbf 0$, $\mathbf a\cdot(\mathbf b-\mathbf c)=0$으로 바꿔 쓰면, $\mathbf d=\mathbf b-\mathbf c$가 $\mathbf a$와 평행(외적이 0)이면서 동시에 수직(내적이 0)이어야 하므로 $\mathbf d=\mathbf 0$일 수밖에 없습니다. (단, $\mathbf a\ne \mathbf 0$이 핵심 가정)

사면체 부피 문제 (2025-9번, 2026-4(c) 유형): 사면체 $OABC$의 부피는 $$V=\frac16\big|\overrightarrow{OA}\cdot(\overrightarrow{OB}\times\overrightarrow{OC})\big|$$ 이걸 최대화하는 문제(2025-9(a))는, $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}$가 고정이고 $C$가 단위구 위를 움직인다면, $\overrightarrow{OA}\times\overrightarrow{OB}=\mathbf n$이라 할 때 부피는 $\frac16|\mathbf n\cdot \overrightarrow{OC}|$이므로 이건 $\overrightarrow{OC}$의 $\mathbf n$방향 성분에 비례 → $\overrightarrow{OC}$가 $\mathbf n$과 평행(단위벡터이므로 $C=\pm\mathbf n/|\mathbf n|$)일 때 최댓값.

5.3 점과 직선 사이의 거리

점 $P_1$과 (점 $P_0$, 방향벡터 $\mathbf v$)로 정해지는 직선 사이의 거리:

$$d = \frac{|\overrightarrow{P_0P_1}\times \mathbf v|}{|\mathbf v|}$$

(직관: $\overrightarrow{P_0P_1}$과 $\mathbf v$가 만드는 평행사변형의 넓이를 밑변 $|\mathbf v|$로 나누면 높이가 거리)

PART II. 곡선 (교재 9장 1~7절)

이 파트는 사실상 매개변수함수의 미분·적분을 벡터로 확장한 것뿐입니다. 미적분에서 배운 매개변수방정식 $\big(x(t),y(t)\big)$의 속도·가속도·곡선의 길이 개념을 그대로 $(x(t),y(t),z(t))$ 3차원으로 확장하고, 여기에 벡터의 내적·외적을 결합한다고 생각하면 어렵지 않습니다.

6.1 매개화된 곡선 (9장 1절)

곡선의 매개화: 곡선을 $X(t) = (x(t),y(t),z(t))$, $t\in I$ (구간)로 나타낸 것을 매개화라 합니다. $t$를 흔히 “시간”이라 생각하면 편합니다.

속도벡터: $X'(t) = (x'(t),y'(t),z'(t))$ — 각 성분을 그냥 미분하면 됩니다. (수능 미적분의 매개변수 미분과 완전히 동일)

정규곡선(regular curve): 모든 $t$에서 $X'(t)\ne\mathbf 0$인 곡선. (“뾰족점”이나 “정지하는 순간”이 없다는 뜻 — 2026-9(b)에서 “정규곡선임을 보이시오”는 $Y'(t)\ne\mathbf0$을 보이라는 것)

접선의 방정식: 점 $X(t_0)$에서의 접선은 방향벡터가 $X'(t_0)$인 직선. $L(s) = X(t_0)+sX'(t_0)$.

벡터함수의 연산 미분법칙 (곱미분과 완전히 같은 패턴, 순서만 주의): $$\frac{d}{dt}\big[\mathbf f(t)\cdot \mathbf g(t)\big] = \mathbf f'(t)\cdot \mathbf g(t)+\mathbf f(t)\cdot \mathbf g'(t)$$ $$\frac{d}{dt}\big[\mathbf f(t)\times \mathbf g(t)\big] = \mathbf f'(t)\times \mathbf g(t)+\mathbf f(t)\times \mathbf g'(t) \quad(\text{외적은 순서를 바꾸면 안 됨!})$$

아주 중요한 트릭 — “크기가 일정하면 미분과 수직”: $|X(t)|$가 상수(즉 $X(t)\cdot X(t)=$ 상수)이면 양변을 $t$로 미분: $$\frac{d}{dt}\big[X(t)\cdot X(t)\big] = 2X(t)\cdot X'(t) = 0 \implies X(t)\perp X'(t)$$ 이 트릭은 2025-11(a) 자체가 이 명제이고, 2026-9(a)에서도 $|X(t)|=1$(단위구면)에서 바로 씁니다.

6.2 가속도와 접촉평면 (9장 2절)

가속도: $X''(t)$, 즉 속도를 한 번 더 미분.

접촉평면(osculating plane): 곡선이 순간적으로 “담겨 있는” 평면. $X'(t_0)$과 $X''(t_0)$이 일차독립이면(즉 평행하지 않으면), 점 $X(t_0)$을 지나고 $X'(t_0), X''(t_0)$을 포함하는 평면이 접촉평면입니다.

구하는 법: 법선벡터는 $\mathbf n = X'(t_0)\times X''(t_0)$ (이 벡터는 $X'$와 $X''$ 둘 다에 수직이므로), 평면의 점은 $X(t_0)$. 따라서 접촉평면의 방정식: $$\mathbf n\cdot\big(P-X(t_0)\big)=0, \qquad \mathbf n = X'(t_0)\times X''(t_0)$$

이건 2025-4(b), 2026-8번(전체)에서 반복적으로 나오는 이 시험의 최고 빈출 유형입니다. 절차를 외워두세요: 1. $X(t)$를 미분해서 $X'(t)$, $X''(t)$ 구하기 2. 원하는 $t_0$에서 $X'(t_0), X''(t_0)$ 대입 3. $\mathbf n = X'(t_0)\times X''(t_0)$ 계산 4. $\mathbf n\cdot(P - X(t_0)) = 0$ 전개해서 평면의 방정식 완성

두 접촉평면이 이루는 각 (2026-8(c) 유형): 평면 $H_1, H_2$이 이루는 각은 각 평면의 법선벡터 $\mathbf n_1,\mathbf n_2$가 이루는 각과 같습니다(또는 그 보각). $\cos\theta = \dfrac{|\mathbf n_1\cdot\mathbf n_2|}{|\mathbf n_1||\mathbf n_2|}$ (절댓값을 씌우는 이유: $0\le\theta\le\pi/2$로 정의하는 게 보통이기 때문).

벡터함수의 적분: 성분별로 그냥 적분하면 됩니다. $\int X(t)\,dt = \Big(\int x(t)dt,\ \int y(t)dt,\ \int z(t)dt\Big)$.

6.3 평면곡선과 극좌표계 (9장 3절) — “극좌표 곡선의 미적분”

극좌표로 주어진 평면곡선 $X(t) = r(t)(\cos t,\sin t)$ (여기서는 매개변수를 각도 $\theta=t$로 잡은 경우)를 다룹니다. 2025-8번이 정확히 이 절의 핵심을 묻는 문제입니다.

속도벡터 분해: $X(t)=r(t)(\cos t,\sin t)$를 미분하면 $$X'(t) = r'(t)(\cos t,\sin t) + r(t)(-\sin t,\cos t)$$ 여기서 $(\cos t,\sin t)$를 반지름 방향(방사 방향) 단위벡터 $\hat{\mathbf r}$, $(-\sin t,\cos t)$를 그것과 수직인 각 방향 단위벡터 $\hat{\boldsymbol\theta}$라 부릅니다 ($\hat{\mathbf r}\perp\hat{\boldsymbol\theta}$, 둘 다 단위벡터). 즉 $$X'(t) = r'(t)\hat{\mathbf r} + r(t)\hat{\boldsymbol\theta}$$ 이건 직교분해이므로 피타고라스 정리로 바로 $|X'(t)|^2 = r'(t)^2+r(t)^2$.

$X(t)$와 $X'(t)$가 이루는 각도 계산 (2025-8번 풀이 원리): $X(t) = r(t)\hat{\mathbf r}$이므로 $$X(t)\cdot X'(t) = r(t)\hat{\mathbf r}\cdot\big(r'(t)\hat{\mathbf r}+r(t)\hat{\boldsymbol\theta}\big) = r(t)r'(t)\quad(\because \hat{\mathbf r}\cdot\hat{\mathbf r}=1,\ \hat{\mathbf r}\cdot\hat{\boldsymbol\theta}=0)$$ 그리고 $|X(t)|=r(t)$, $|X'(t)|=\sqrt{r(t)^2+r'(t)^2}$이므로 내적의 정의 $X\cdot X'=|X||X'|\cos\theta$에 대입하면 $$r(t)r'(t) = r(t)\sqrt{r(t)^2+r'(t)^2}\,\cos\theta(t) \implies r'(t) = \sqrt{r(t)^2+r'(t)^2}\,\cos\theta(t)$$ (양변을 $r(t)>0$으로 나눔) — 이게 바로 2025-8(a)에서 보이라는 식입니다. $\cos\theta(t) = \dfrac{r'}{\sqrt{r^2+r'^2}}$인데, 분모가 분자의 절댓값보다 크거나 같으므로($r^2\ge0$) $|\cos\theta|\le1$은 자동이고, $r$이 증가함수(문제에서 조건)이므로 $r'\ge0$이라 $\cos\theta\ge0$, 즉 $0\le\theta\le\pi/2$가 성립합니다.

넓이 공식 (1.2절에서 미리 언급): $A=\frac12\int r^2\,d\theta$. 2025-7번(카디오이드 유사 곡선과 원의 공통부분), 2026-7번(원 밖 접선 문제, 실은 극좌표/기하 혼합) 등 “영역의 넓이” 문제에 사용합니다. 절차: (1) 두 곡선의 교점을 구해 적분구간 $[\alpha,\beta]$ 결정 → (2) 공통부분이면 더 안쪽 곡선의 $r^2$을 적분 → (3) 대칭성을 활용해 계산량 줄이기.

각운동량: $L(t) = X(t)\times X'(t)$ (2차원이면 스칼라처럼 취급 가능: $x y'-yx'$). 중심력장에서 보존되는 물리량으로, 극좌표에서는 $L = r^2\theta'$ 꼴로 나타나는데, 이 시험 범위에서 직접 계산 문제로 나온 적은 없지만 “곡선이 원점을 항상 일정한 각속도로 돈다”는 직관과 연결됩니다.

6.4 재매개화 (9장 4절)

같은 곡선(자취)을 다른 매개변수로 표현하는 것. $t=\phi(s)$로 치환하면 $\tilde X(s) = X(\phi(s))$.

재매개화 불변량: 곡선의 길이, 접촉평면, (부호를 무시하면) 접선의 방향 등은 매개변수를 어떻게 잡든 바뀌지 않습니다. 반면 속도의 크기($|X'(t)|$, 즉 “속력”)는 매개화에 따라 달라집니다.

역향곡선(reverse curve): $t$의 방향을 뒤집은 곡선, $\bar X(t) = X(-t)$ 같은 것. 방향이 반대이므로 접선벡터의 부호도 반대가 됩니다.

이 절은 2026-9번의 “우주선이 곡선을 따라 속력 1로 이동”이라는 조건(=호의 길이를 매개변수로 쓴다는 뜻, 6.6절 참고)과 연결됩니다.

6.5 곡선의 길이 (9장 5절)

$$\text{곡선의 길이} = \int_a^b |X'(t)|\,dt = \int_a^b \sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2+z'(t)^2}\,dt$$

이건 미적분에서 배운 “매개변수함수의 곡선의 길이” 공식과 100% 동일한데 $z$성분만 추가된 것입니다.

사이클로이드의 길이 (2025-2번 필수 공식): $x=t-\sin t,\ y=1-\cos t$일 때 $$x'(t)=1-\cos t,\quad y'(t)=\sin t$$ $$|X'(t)|^2 = (1-\cos t)^2+\sin^2t = 1-2\cos t+\cos^2t+\sin^2t = 2-2\cos t = 4\sin^2\frac t2$$ (반각공식 $1-\cos t = 2\sin^2\frac t2$ 사용) 따라서 $|X'(t)| = 2\Big|\sin\frac t2\Big| = 2\sin\frac t2$ ($0\le t\le 2\pi$에서 $\sin\frac t2\ge0$). 이 계산 과정 자체를 외워두세요. 사이클로이드는 매번 이 패턴으로 등장합니다.

“y ≥ 7/5인 부분만”처럼 구간이 제한된 문제 풀이 순서: 1. $y=1-\cos t \ge \frac75$가 되는 $t$의 구간을 먼저 찾는다 ($\cos t\le -\frac25$). 2. 그 구간 $[t_1,t_2]$에서 $\int_{t_1}^{t_2} 2\sin\frac t2\,dt$로 길이를 구한다. 3. “중심”을 구하라고 하면 이는 곡선의 (질량중심이 아니라 균일분포) 중심, 즉 9장 7절의 “곡선의 중심” 공식(밀도 균일 → 산술평균)을 적용: $\bar X = \dfrac{1}{\text{길이}}\displaystyle\int_{t_1}^{t_2} X(t)\,|X'(t)|\,dt$. 사이클로이드가 $y$축에 대칭이면 $x$좌표는 대칭성으로 바로 구해지는 경우가 많으니 그래프 대칭성을 먼저 확인하세요.

나선의 길이: $X(t)=(a\cos t, a\sin t, bt)$ 같은 나선(헬릭스)은 $|X'(t)|=\sqrt{a^2+b^2}$로 상수가 되는 것이 특징. 2025-4(a)의 $X(t)=\cosh t(\cos t,\sin t,0)+t(0,0,1)$도 비슷한 계산 패턴(쌍곡선함수 항등식 $\cosh^2-\sinh^2=1$ 이용)으로 $|X'(t)|$를 간단히 정리하는 문제입니다.

그래프의 길이: $y=f(x)$의 길이는 $\int\sqrt{1+f'(x)^2}\,dx$ (이건 매개화 $X(x)=(x,f(x))$의 특수한 경우일 뿐).

극좌표계와 곡선의 길이: $r=f(\theta)$의 길이는 $X(\theta)=(r\cos\theta,r\sin\theta)$에 6.3절의 $|X'|^2=r^2+r'^2$를 그대로 적용해서 $$\text{길이} = \int_\alpha^\beta \sqrt{r(\theta)^2+r'(\theta)^2}\,d\theta$$

구면 측지선: 단위구면 위의 두 점을 잇는 최단 경로(대원의 호). 2026-9번의 배경 지식으로, “단위구면 위를 속력 1로 움직이는 곡선의 길이의 최솟값”이 바로 두 점 사이의 구면측지거리와 연결됩니다.

6.6 호의 길이와 재매개화 (9장 6절)

호의 길이 함수: $s(t) = \displaystyle\int_{t_0}^{t}|X'(u)|\,du$. 이 $s$를 새 매개변수로 쓰면 $|dX/ds|=1$이 되어(즉 속력이 항상 1), 이를 호의 길이로 매개화(unit-speed parametrization)되었다고 합니다.

“속력 1로 이동”이라는 조건의 정체: 2026-9번에서 “우주선이 속력 1로 이동”한다는 것이 바로 이 호의 길이 매개화라는 뜻입니다. 즉 $|X'(t)|=1$이 모든 $t$에서 성립 → 6.1절의 “크기 일정 ⟹ 미분과 수직” 트릭에 의해 $X'(t)\perp X''(t)$가 자동으로 성립합니다. (2026-9(a)에서 $|X''(t)|\ge1$을 보이는 데 이 성질과 $|X(t)|=1$ 조건을 함께 사용: $X, X', X''$ 사이의 관계식을 미분으로 계속 얻어내는 게 핵심입니다.)

6.7 선적분 (9장 7절)

선적분과 매개화: 스칼라함수 $f$를 곡선 $X(t)$를 따라 적분: $$\int_C f\,ds = \int_a^b f(X(t))\,|X'(t)|\,dt$$ (“$ds$”는 호의 길이 미소량 $|X'(t)|dt$를 뜻합니다.)

평균값: 곡선 $C$ 위에서 $f$의 평균값은 $$\bar f = \frac{1}{\text{길이}(C)}\int_C f\,ds$$

곡선의 중심(균일분포 무게중심): 밀도가 균일할 때 $$\bar X = \frac{1}{\text{길이}(C)}\int_C X\,ds = \frac{1}{\text{길이}(C)}\int_a^b X(t)|X'(t)|\,dt$$

곡선의 질량중심(밀도함수가 있을 때): 밀도함수 $\rho(X)$가 주어지면 $$X_{cm} = \frac{\displaystyle\int_C X\,\rho\,ds}{\displaystyle\int_C \rho\,ds} = \frac{\displaystyle\int_a^b X(t)\rho(X(t))|X'(t)|\,dt}{\displaystyle\int_a^b \rho(X(t))|X'(t)|\,dt}$$

2026-6번 풀이 전략 (반원 $x^2+y^2=1,\ y\ge0$, 밀도 $\propto$ 직선 $y=1$까지의 거리): 1. 매개화: $X(t)=(\cos t,\sin t)$, $0\le t\le\pi$. $|X'(t)|=1$ (단위원이므로 자동으로 호의 길이 매개화!) 2. 점 $(\cos t,\sin t)$에서 직선 $y=1$까지의 거리는 $|1-\sin t|=1-\sin t$ (반원 위에서 $\sin t\le1$). 밀도함수 $\rho(t)=k(1-\sin t)$ ($k>0$은 비례상수, 최종 답에서 약분되어 사라짐). 3. $x$좌표는 대칭성(밀도함수가 $y$축에 대해 대칭, 즉 $t\to\pi-t$에 불변)으로 $\bar x=0$. 4. $\bar y = \dfrac{\int_0^\pi \sin t\,(1-\sin t)\,dt}{\int_0^\pi (1-\sin t)\,dt}$를 계산 (분자·분모 모두 $\int\sin t\,dt$, $\int\sin^2t\,dt$ 같은 기본 적분).

이 유형(밀도함수가 있는 질량중심)은 “대칭성으로 한 좌표는 거저 얻고, 나머지 한 좌표만 적분으로 계산”하는 것이 핵심 시간단축 전략입니다.

PART III. 자주 나오는 계산 테크닉 모음 (아직 안 다룬 기출들)

7.1 서로 수직인 벡터들의 선형결합 크기 (2025-6번)

크기 $2,1,1$이고 서로 수직인 세 벡터 $\mathbf u,\mathbf v,\mathbf w$가 있을 때:

(a) $|\mathbf u+3\mathbf v-2\mathbf w|$: 서로 수직이면 교차항 내적이 전부 0이 되므로, 그냥 피타고라스 정리를 적용합니다. $$|\mathbf u+3\mathbf v-2\mathbf w|^2 = |\mathbf u|^2+9|\mathbf v|^2+4|\mathbf w|^2 = 4+9+4=17$$ (전개하면 $2\cdot3(\mathbf u\cdot\mathbf v)$ 같은 교차항이 나오는데 전부 수직이라 0)

(b) $x^4+y^4+z^4=1$일 때 $|x\mathbf u+3y\mathbf v-2z\mathbf w|$의 최댓값: 같은 방식으로 $$|x\mathbf u+3y\mathbf v-2z\mathbf w|^2 = 4x^2+9y^2+4z^2$$ 이제 이걸 $x^4+y^4+z^4=1$ 제약에서 최대화하는 문제인데, 각 변수가 따로 노는 형태이므로 라그랑주 승수 대신 산술-기하평균(AM-GM) 또는 코시-슈바르츠를 씁니다. $a=x^2,b=y^2,c=z^2\ge0$으로 치환하면 $a^2+b^2+c^2=1$ 제약에서 $4a+9b+4c$의 최댓값 문제가 되고, 이건 코시-슈바르츠로 바로 풀립니다: $$4a+9b+4c \le \sqrt{4^2+9^2+4^2}\cdot\sqrt{a^2+b^2+c^2} = \sqrt{113}$$ 등호는 $(a,b,c) \parallel (4,9,4)$일 때. (실전에서는 $x^4=a^2$이므로 $a\ge0$ 제약까지 챙겨서 등호 성립 여부 확인 필요)

참고

일반 전략: “서로 수직인 벡터들의 선형결합의 크기”는 항상 피타고라스로 제곱합이 되고, 그 뒤에 붙는 최대·최소 문제는 코시-슈바르츠 부등식 $(\sum a_ib_i)^2\le(\sum a_i^2)(\sum b_i^2)$ 로 해결하는 것이 이 교재/시험의 표준 패턴입니다. (2026-3번도 완전히 같은 아이디어입니다 — 아래 참고)

7.2 행렬식의 성질만으로 계산 단축하기 (2026-1번)

$$F(a,b) = \det\begin{pmatrix}1&1&1\\99a&-100a&101a\\99b&-100b&101b\end{pmatrix}$$

행렬식 성질 3번(한 행에 공통인수가 있으면 밖으로 뺄 수 있음)을 2번 적용: $$F(a,b) = ab\cdot\det\begin{pmatrix}1&1&1\\99&-100&101\\99&-100&101\end{pmatrix}$$ 그런데 2, 3행이 완전히 같으므로(둘 다 $99,-100,101$) 행렬식은 0! 즉 $F(a,b)=0$ 은 $a,b$ 어떤 값에도 성립… 이라면 $F(2,4)/F(1,2)$는 $0/0$ 부정형이 됩니다. 다시 문제를 잘 보면 행렬의 2행, 3행 계수가 실제로는 $a,b$에 곱해지는 게 아니라 “$99^a, (-100)^a, 101^a$”처럼 지수일 수도 있으니, PDF 원문의 정확한 식(지수인지 계수인지)을 반드시 다시 확인하세요. 풀이 전략 자체는 동일합니다: 치환·소거를 이용해 $2\times2$ 행렬식으로 축소한 뒤 $F(2,4)$와 $F(1,2)$를 각각 계산해서 비율을 구하면 됩니다. 지수형이라면 각 행에서 공통인수를 뽑아낸 뒤 남는 $2\times2$ 행렬식(사루스 또는 $ad-bc$)으로 마무리합니다.